a)
Rysunek pomocniczy:
Współrzędne punktu D to
Równanie prostej przechodzącej przez punkt A i C
Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:
Równanie prostej przechodzącej przez punkt B i D
Podstawiając współrzędne punkt B otrzymujemy:
Wyznaczmy punkt przecięcia przekątnych
Zatem punkt przecięcia ma współrzędne:
b)
Rysunek pomocniczy:
Współrzędne punktu D to
Równanie prostej przechodzącej przez punkt A i C
Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:
Równanie prostej przechodzącej przez punkt B i D
Podstawiając współrzędne punkt B otrzymujemy:
Wyznaczmy punkt przecięcia przekątnych
Zatem punkt przecięcia ma współrzędne:
Skoro wykres jest symetryczny względem punktu (0,0) to proste są równoległe a więc współczynnik funkcji g jest taki sam jak funkcji f.
Dodatkowo zauważmy, że np. Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OY jest symetryczny z punktem przecięcia się wykresu funkcji g i osi OY.
A więc punkt przecięcia funkcji g z osią OY ma współrzędne:
A więc wyraz wolny jest równy -1.
Wykresy:
Część wspólna obu przedziałów to:
a) Współczynniki kierunkowe funkcji f i g nie są równe a więc funkcje przecinają się w jednym punkcie.
Sprawdźmy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nie mniejsze niż funkcja g:
Współczynniki kierunkowe funkcji f i g nie są równe a więc funkcje przecinają się w jednym punkcie.
Sprawdźmy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości nie mniejsze niż funkcja g:
Funkcja powstaje przez przesunięcie funkcji o wektor [-2, 4]
Narysujmy tą funkcję.
Rysując te funkcje w jednym układzie współrzędnych łatwo odczytać rozwiązanie równania
Funkcja powstaje przez przesunięcie funkcji o wektor [1, 0]
Funkcja powstaje przez przesunięcie funkcji o wektor [-1, 0] oraz przez symetrię względem osi OX
Rysując te funkcje w jednym układzie współrzędnych łatwo odczytać rozwiązanie równania
Rozpiszmy warunek
Łatwo zauważyć, że dla otrzymujemy , czyli sprzeczność.
Dla otrzymujemy , czyli nierówność prawdziwa dla x ujemnych.
Przypadek I, gdy
Przypadek II, gdy
Łatwo zauważyć, że dla powyższego m mamy nieskończenie wiele rozwiązań, czyli nie spełnia to warunków zadania.
Łącząc oba przypadki otrzymujemy:
a)
Wykres funkcji g(x)
Wykres funkcji h(x) jest taki sam jak wykres funkcji g(x), ponieważ wszystkie wartości funkcji g(x) są dodatnie.
Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:
brak rozwiązań dla
jedno rozwiązanie dla
dwa rozwiązania dla
nieskończenie wiele rozwiązań dla
b)
Wykres funkcji g(x)
Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:
dwa rozwiązania dla
trzy rozwiązania dla
cztery rozwiązania dla
brak rozwiązań dla
Wykres funkcji h(x)
Liczba rozwiązań równania w zależności od parametru m:
brak rozwiązań dla
cztery rozwiązania dla
osiem rozwiązań dla
siedem rozwiązań dla
sześć rozwiązań dla
dwa rozwiązania dla