Aby równanie miało podwójny pierwiastek muszą być spełnione warunki i
Zatem otrzymujemy równanie:
Obliczmy pierwiastek dla
Obliczmy pierwiastek dla
Rozwiążmy pierwsze równanie:
Aby było przynajmniej jedno rozwiązanie, musi być spełniony warunek
Rozwiążmy drugie równanie:
Aby było przynajmniej jedno rozwiązanie, musi być spełniony warunek
Łatwo zauważyć, że suma obu rozwiązań daje nam zbiór liczb rzeczywistych.
Zatem dla dowolnego m przynajmniej jedno z równań ma rozwiązanie.
Sprawdźmy dla jakich argumentów funkcje f i g przyjmują tę samą wartość:
Zatem dla argumentów -1 i 2 funkcje f i g przyjmują tę samą wartość (czyli jeśli liczba -1 lub 2 jest miejscem zerowym funkcji f to jest również miejscem zerowym funkcji g).
Sprawdźmy, dla jakiej wartości parametru m, miejscem zerowym funkcji f (i g) jest -1
Sprawdźmy, dla jakiej wartości parametru m, miejscem zerowym funkcji f (i g) jest 2
Odp.: Dla m=-4 miejscem zerowym funkcji f i g jest liczba -1, a dla m=-1 miejscem zerowym funkcji f i g jest liczba 2.
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Aby suma pierwiastków była mniejsza od 2 musi być spełnione
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
Założenie:
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Aby suma odwrotności pierwiastków była nieujemna musi być spełnione
Ostatecznie łącząc wszystkie warunki otrzymujemy:
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Łatwo zauważyć, że powyższe m nie należą do przedziału
Zatem nie istnieje takie m.
Założenie:
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Uwzględniając wcześniejsze założenia otrzymujemy:
Aby były dwa różne pierwiastki musi być spełnione
Sprawdźmy, czy istnieją pierwiastki powyższego równania.
Zatem istnieją dwa pierwiastki.
Przypadek I.
Zatem
Wtedy mamy:
Zatem:
Przypadek II.
Sprawdźmy, czy istnieją pierwiastki powyższego równania.
